增长率专题：（增长率可以简写成 r ）

1、增长率表示两者变化的相对量
2、增长率＝ $\frac{增长量}{基期量}$ ＝ $\frac{增长量}{现期量 - 增长量}$ ＝ $\frac{现期量 - 基期量}{基期量}$ ＝ $\frac{现期量}{基期量} - 1$
3、增长率又称、或者、、等
4、增长率为负数时表示下降，下降率也可以直接写成负的增长率

例：（2024国家）2023年1~3月我国机器人设备累计出口金额1.9亿美元，较上年增长62.1%，累计进口金额6.9亿美元，较上年增长55.1%。

问：2023年一季度，我国机器人设备进出口贸易逆差比上年同期：
A.下降了不到30%
B.下降了30%以上
C.上升了不到30%
D.上升了30%以上

解析

根据题干“2023年一季度······进出口贸易逆差比上年同期······”，结合选项为百分数，可判定本题为一般增长率问题。
根据公式：贸易逆差=进口额-出口额，则2023年1-3月，我国机器人设备进出口贸易逆差为6.9-1.9=5亿美元；
根据公式：基期量=现期/(1+增长率)
则2022年1-3月，我国机器人设备进出口贸易逆差为[6.9/(1+55.1%)] - [1.9/(1+62.1%)]≈4.5-1.2=3.3亿美元。
根据公式：增长率=(现期量-基期量)/基期量，故贸易逆差的增长率为(5-3.3)/3.3≈50%+，即上升了30%以上。
故正确答案为D。

一、增幅、降幅、变化幅度

1、增幅（增长率/增速）：可正可负，比较时要带正负号（5% ＞ -10%）
2、降幅：增长率为负，比较时看绝对值（|-5%| ＜ |-10%|）
3、变化幅度：增长率可正可负，比较时看绝对值（|5%| ＜ |-10%|）
4、求增长率方法
1. （1）出现增速
  1. ①2024年收入10万元，同比增长10%，增速比去年提高5个百分点。则2023年的增长率为：
  2. ②2024年收入10万元，同比增长10%，增速比去年回落5个百分点。则2023年的增长率为：
  3. 分析：。①出现增速，直接使用高减低加，10%-5%=5%，所以2023年的增长率为5%。②出现增速，直接使用高减低加，10%+5%=15%，所以2023年的增长率为15%。
2. （2）出现降幅
  1. ①2024年收入10万元，同比下降10%，降幅比去年扩大5个百分点。则2023年的增长率为：
  2. ②2024年收入10万元，同比下降10%，降幅比去年收窄5个百分点。则2023年的增长率为：
  3. 分析：。①出现降幅，先不带符号用“高减低加”，10%-5%=5%，后面再添“负号”,则2023年的增长率为：-5%。②出现降幅，先不带符号用“高减低加”，10%+5%=15%，后面再添“负号”，则2023年的增长率为：-15%。

二、百分数与百分点

1、百分数：表示两个量的比例关系，用除法计算
1. 例：2022年为150，21年为100，则22年比21年增长 $\frac{150 - 100}{100}$ = 50%
2、百分点：表示百分数的变化，用加减法计算
1. 例：22年为70%，21年为20%，则22年比21年增长 70-20=50 个百分点
3、考察形式：给出一个百分数和百分点，求另一个百分数
1. 例：22年为70%，比21年提高了20个百分点，则21年为 50%
2. 例：22年为70%，比21年降低了20个百分点，则21年为 90%

三、间隔增长率

1、题型识别：（一般隔1年），求增长率。例如有三个时期2022、2023、2024，已知2023与2022相比较的增长率为 $r_{1}$ ，2024与2023比较的增长率为 $r_{2}$ 。求2024与2022相比较的增长率 $r$ ，这种题型称为间隔增长率。
： $r = r_{1} + r_{2} + r_{1} \times r_{2}$
3、公式推导：设2022年量为1，知道基期及增长率，根据现期公式（基期+(基期×增长率)）则2023量为1+(1× $r_{1}$ )=1+ $r_{1}$ ，2024年量为(1+ $r_{1}$ )+(1+ $r_{1}$ )× $r_{2}$ =1+ $r_{1}$ + $r_{2}$ + $r_{1}$ × $r_{2}$ ，则2024年与2022年比较的增长率= $\frac{现期 - 基期}{基期}$ = $\frac{1 + r 1 + r 2 + r 1 \times r 2 - 1}{1}$ = $r 1$ + $r 2$ + $r 1$ * $r 2$
4、速算技巧
1. （1）先算加法 $r_{1}$ + $r_{2}$ ，排除选项
2. （2）如果 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 均小于10%，可忽略乘法。示例：5%+8%+5%×8%≈？由于5%、8%均小于10%，可以忽略r1 × r2，则原式≈5%+8%=13%。
3. （3）如果 $r_{1}$ 或 $r_{2}$ 大于10%，其中一个百分化。示例：5%+36%+5%×36%≈？由于36%>10%， $r_{1}$ × $r_{2}$ 不能忽略。可以将5%化成分数为1/20，然后计算36%/20=1.8%，则原式≈41%+1.8%=42.8%。

例：（2017国家）2015年全行业全年生产手表10.7亿只，同比增长3.9%，完成产值约417亿元，同比增长4.3%，增速提高1.9个百分点；生产时钟(含钟心)5.2亿只，同比下降3.7%，完成产值162亿元，同比下降4.7%，降幅扩大1.3个百分点

问：2015年我国钟表全行业生产时钟(含钟心)的产值与2013年相比约( )
A.上升了11%
B.下降了11%
C.上升了8%
D.下降了8%

解析

本题问2015与2013年相比，中间隔一个时期。本题是间隔增长率计算问题。
根据题干2014年我国钟表全行业生产时钟(含钟心)的产值的增长率是-(4.7%-1.3%)=-3.4%，那么两期间隔增长率就是，-4.7%-3.4%+4.7%×3.4%，非常接近-8.1%，结合选项选择D选项。

四、乘积增长率

1、什么是乘积增长率：即量之间满足C＝B×A形式时，已知a%，b%，求C的增长率c%，即C的增长率称为乘积增长率。
： $r_{c}$ = $r_{a}$ + $r_{b}$ + $r_{a}$ × $r_{b}$ (与间隔增长率公式一样)
3、乘积增长率常用题型:
1. （1）平均数类问题，总数＝平均数×个数，求解总数的增长率时:
2. （2）比重类问题，部分量＝整体量×比重，求解部分量的增长率时；
3. （3）经济利润问题，总价＝单价×数量，求解总价的增长率时；
4、公式推导过程：例如单位面积产量(A)的增长率为a，面积(B)的增长率为b，求总产量的增长率c?
1. （1）其中有个等式：总产量=(A)单位面积产量×(B)面积
2. （2）总产量增长率公式(c)= $\frac{总产量现期 - 总产量基期}{总产量基期}$
3. （3）总产量现期=A×B，总产量基期=单位面积产量基期×面积基期= $\frac{A}{1 + a} \times \frac{B}{1 + b}$
4. （4）带入值，即： $c = \frac{A \times B - \frac{A}{1 + a} \times \frac{B}{1 + b}}{\frac{A}{1 + a} \times \frac{B}{1 + b}}$
5. （5）化简：c=AB× $\frac{(1 + a) * (1 + b)}{A \times B}$ -1 = a+b+a×b

例：（2019辽宁）2019年1—8月，房地产开发企业土地购置面积12236万平方米，同比下降25.6%,每平方米土地价格同比上涨4.5%，土地成交额6374亿元。

问：2019年1—8月，房地产开发企业土地成交额与去年同期相比增长约为：
A.-17%
B.-22%
C.-27%
D.1.2%

解析

题目中有3个主体词：土地成交额、土地购置面积、土地价格，通过观察可以发现它们满足一个关系式：成交额C＝购置面积A×价格B，它们的增长率分别可以用a、b、c表示。
根据题干“2019年1-8月，······与去年同期相比增长约”，求成交额c的增长率
材料可知a、b，求c，我们可以使用乘积增长率公式：c=a＋b＋a×b，代入计算可得rA=-25.6%＋4.5%-25.6%×4.5%，（注意下降一定不要忘记带负号）大致计算-25.6%＋4.5%，可知-22%最接近，答案应选B。

五、混合增长率

定义：混合增长率的关键在于“混合”，混合即为不同事物交叉混合在一起，那么混合增长率也就是混合后所形成的整体量的增长率，如全班人=男人+女人，那么全班人就是男人和女人混合后所形成的整体量，男人和女人为两个部分量，则全班人的增长率就是整体量的增长率，也可称之为混合增长率。

1、举例：一杯含盐量为20%的盐水，和同样大小的一杯清水(含盐量为0%)，将盐水和清水倒到一个大杯子里形成混合液体，则混合液体的含盐量在0%-20%范围内。及
2、题型：部分混合得到整体，求整体增长率（进出口、城镇乡村全国、男女、房地产、1~N月、季度全年半年、油料和水果、A与非A等）
： $\frac{部分基期 A}{部分基期 B} = \frac{c - b}{a - c}$ 【a，b为部分增长率，c为整体增长率】
4、公式口诀：
1. ●混合后的放中间，混合前的放两边
2. ●先求两者增长率平均值（ $\frac{a + b}{2}$ ），然后看谁基期量大（）混合后的增长率就往谁靠
3. ●

4、计算混合增长率的方法：
1. 1.十字交叉法
2. 2.线段法

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     1、线段长度（增长率差值）与基期量成反比
     2、a，b为部分增长率，c为混合增长率，A，B为基期
     a       a-c           c          c-b       b 
     |                     |                    |
     --------------------------------------------
             A                      B
     公式：(c-b)/(a-c)=A/B，把已知量带入求解

五、公式推导过程：
1. 定义部分和整体的基期量和对应增长率：
  部分整体
  基期增长率基期增长率
  $A_{1}$ $r_{1}$ A r
  $A_{2}$ $r_{2}$
2. 其中：部分基期之和=整体基期，部分增长量之和=整体的增长量，即有：
3. ①整体基期： $A_{1}$ + $A_{2}$ = $A$
4. ②整体增长量： $A_{1} r_{1}$ + $A_{2} r_{2}$ = $A r$
5. 将整体基期公式①代入整体增长量公式②右侧，则有： $A_{1} r_{1}$ + $A_{2} r_{2}$ = $A r$ =( $A_{1} + A_{2}$ ) $r$ = $A_{1} r$ + $A_{2} r$
6. 移向得： $A_{1} r_{1}$ - $A_{1} r$ = $A_{2} r$ - $A_{2} r_{2}$
7. 提取公因数得： $A_{1}$ ( $r_{1}$ - $r$ )= $A_{2}$ ( $r$ - $r_{2}$ )
8. 则有： $\frac{A_{1}}{A_{2}} = \frac{r - r 2}{r_{1} - r}$

部分	整体
基期	增长率	基期	增长率
$A_{1}$	$r_{1}$	A	r
$A_{2}$	$r_{2}$

例：（2019国家）2017年，A省完成邮电业务总量6065.71亿元。其中，电信业务总量3575.86亿元，同比增长75.8%;邮政业务总量2489.85亿元，增长32.0%。

问：2017年A省邮电业务总量同比增速在以下哪个范围之内?
A.低于25%
B.25%～50%之间
C.50%～75%之间
D.超过75%

解析

根据“2017年A省邮电业务总量同比增速在以下哪个范围（完成邮电业务总量=电信业务总量+邮政业务总量）”，且材料已知电信业务和邮政业务的增长率，可判断此题为混合增长率问题。
定位文字材料，“A省完成邮电业务总量6065.71亿元。其中，电信业务总量3575.86亿元，同比增长75.8%;邮政业务总量2489.85亿元，增长32.0%”。
利用混合增速性质可知，整体增速介于部分增速之间，故邮电业务总量的增速介于32%~75.8%之间，排除A。
32%和75.8%的中间值为53.9%，其次，根据混合增速的大小居中但偏向于基期量大的性质，比较电信和邮政的基期量分别为 $\frac{3575.86}{1 + 75.8 %}$ 和 $\frac{2489.85}{1 + 32 %}$ 这里要算基期，因为增长率差距太大，如果差距不大可以直接用现期比较。然后直除首位分别为2和1，可知前者大于后者，所以混合增长率略大于中间值53.9%。因此，选择C选项。

六、年均增长率

定义：年均增长率是统计学中的一个概念，也被称为复合增长率。它表示在一定年限内，平均每年增长的速度。

1、题型识别：年均 + 增长 + %
： $(1 + r)^{n}$ = $\frac{现期}{基期}$ （n=年份差，r为年均增长率）
3、公式化简： $r$ = $\sqrt[n]{\frac{现期}{基期}}$ -1 < （ $\frac{现期}{基期}$ -1）÷n（估算公式）
4、速算：
1. （1）第一步：优先求 $\frac{现期}{基期}$
2. （2）第二步：根据选项假设一个容易计算的年均增长率r，计算 $（ 1 + r ）^{n}$ ，再跟 $\frac{现期}{基期}$ 比较。
  1. ①若 $(1 + r)^{n}$ < $\frac{现期}{基期}$ ，则年均增长率 > r
  2. ②若 $(1 + r)^{n}$ > $\frac{现期}{基期}$ ，则年均增长率 < r
  3. ③如果不能确定选项，重复第二步
5、年均增长率比较：年份n相同，直接比较【 $\frac{现期}{基期}$ 】

例：（2018上海）

问：2012-2016年，我国单银幕总票房平均每年较上年增长约：
A.13%
B.28%
C.54%
D.67%

解析

由题干“平均每年较上年增长”，结合选项为百分数，可判定本题为年均增长率计算问题。
定位表格材料，2016年总票房为457.1亿元，2012年总票房为170.7亿元。
代入公式则有 $(1 + r)^{4}$ = $\frac{457.1}{170.7}$ ≈2.7
若r=20%，则 $(1 + 20 %)^{4}$ =1.2×1.2×1.2×1.2=1.44×1.44=1.96<2.7，年均增长率大于20%。
若r=30%，则 $(1 + 30 %)^{4}$ =1.3×1.3×1.3×1.3=1.69×1.69=2.89>2.7，年均增长率小于30%。
因此可得：20% < r < 30%，结合选项只有B项满足。

七、平均数增长率

1、平均数增长率：平均数的增长率，要同时体现平均数、增长率两层含义。比如2021年人均收入比去年增加了百分之多少或2021年人均收入是去年的多少倍，这就是要求平均增长率。
2、题型识别：平均数+增长了...
： $\frac{a - b}{1 + b}$ ，其中a表示平均数中分子的增长率，b表示分母的增长率。‌
4、公式推导过程：
1. 现期的平均数为 $\frac{个数}{总数}$ ，我们用 $\frac{A}{B}$ 表示，A的增长率为a，B的增长率为b
2. 则基期的平均数为 $\frac{A}{B}$ × $\frac{1 + b}{1 + a}$
3. 带入增长率公式 $\frac{现期}{基期}$ -1，即[ $\frac{A}{B}$ ÷（ $\frac{A}{B} \times \frac{1 + b}{1 + a}$ ）]-1
4. 化简可得增长率： $\frac{1 + a}{1 + b}$ -1 = $\frac{a - b}{1 + b}$
5. 如果求“现期平均数是基期平均数的多少倍”，= $\frac{a - b}{1 + b}$ ＋1。
5、计算：
1. （1）计算分子a-b
  1. ①当a-b>0，现期的平均数是同比上升的
  2. ②当a-b<0，现期的平均数是同比下降的
2. （2）再看b符号
  1. ①当b>0，分母（1+b）>1，结果的绝对值<|a-b|
  2. ②当b<0，分母（1+b）<1，结果的绝对值>|a-b|
6、拓展：该公式可以用于求 $\frac{A}{B}$ 公式类型的增长率，虽然叫“平均”，公式的使用并不限制“平均”的题型，比如求比重的增长率也可以用这个公式，因为比重= $\frac{部分}{整体}$ 。

例：2016年全国餐饮收入35799亿元，同比增长10.8%，餐饮收入占社会消费品零售总额的比重为10.8%。2016年全社会餐饮业经营单位为365.5万个，同比下降8.2%；从业人数为1846.0万人，同比增长5.7%。

问：2016年全社会餐饮业平均每个经营单位的从业人数比上年约：（）
A.减少了2%
B.减少了15%
C.增加了2%
D.增加了15%

解析

问题存在“平均每个”和“比上年”，推断为平均增长率题型。
2016年全社会餐饮业经营单位为365.5万个，同比下降8.2%，从业人员为1846.0万人，同比增长5.7%。根据平均数增长率=(a%-b%)/(1+b%)，故平均数增长率为(5.7%+8.2%)/(1-8.2%)=13.9%/(1-8.2%)＞13.9%，仅D符合。

增长率专题：（ 增长率可以简写成 r ） ​

一、增幅、降幅、变化幅度 ​

二、百分数与百分点 ​

三、间隔增长率 ​

四、乘积增长率 ​

五、混合增长率 ​

六、年均增长率 ​

七、平均数增长率 ​