牛吃草问题

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牛吃草问题又称为消长问题，是 17 世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随着吃的天数不断地变化。

一、基本概念

1.   牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，期间草每天都在生长。如果供给25头牛吃，可以吃多少天?

2.   “牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间。难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不确定。
3.   牛吃草问题可以看做追及问题，即草生长速度可以分两部分，牛也可以分两部分，一部分吃新草一部分消耗旧草。速度相减，吃草量也可以相减。把一个整体量分成两个分量去考虑。

二、核心公式

1. 1、公式：；（公式的本质：原有量=每天的变化量×天数）

   1. （1）Y代表原有存量的消耗量（如原有草量）

   2. （2）x代表存量的自然生长速度（如每天生长的草）

   3. （3）N代表促使原有存量消耗的变量（如牛每天吃掉的草）

   4. （4）T代表时间

2. 2、做题技巧：每头牛每天吃的量是不变的，因此。

3. 3、考法合集 ：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，期间草每天都在生长。

   1. （1）草生长速度是多少？
   2. （2）这片草地原有多少草量？
   3. （3）这片草地可以供25头牛吃多少天？
   4. （4）草地上有27头牛，需要多少天，原有草地还剩40%？
   5. （5）要想可持续发展（草永远吃不完），每天最多放多少头牛？

   6. 假定每头牛每天吃的草量为单位“1”份，设草场原有Y份草，草以均匀的速度增长，每天涨x份。
      10头牛可以吃22天，每天减少多少份？10头牛是每天吃10份草，但是每天草又涨了x，实际上每天草的消耗量为10-x。22天正好把所有的草吃完了，可列出式子Y=22×（10-x）①。
      同理，现在16头牛的话每天吃多少？这个16-x是不是实际上每天消耗量的？那10天吃完也可列出式子Y=10×（16-x）②。
      用两个方程①②一解就可得出草的生长速度和原有草量。因此Y=110，x=5。
      设25头牛可以吃T天，则Y=（25-x）T，代入值得 T=110÷（20）=5.5天。
      原有草地还剩40%，即吃掉了60%的原有草量：0.6×110=66。设需要T天。则66=（27-5）T，代入值得 T=66÷22=3天。
      要想可持续发展，那么要求牛吃草的速度不超过草生长的速度，草每天涨5份，那么最多放5头牛。

4. 4、注意：开采河沙、进水抽水、检票进站等问题本质上也是牛吃草问题，一定要理解题目中谁是牛谁是草。

三、随笔练习

例1：(2023广东)某牧场的草，匀速生长。如果20头牛来吃，20天可将草吃光；如果10头牛和10只羊来吃，30天可以恰好吃光。已知一头牛每天的吃草量是一只羊的2倍，则30只羊吃该牧场的草，多少天可以吃光？

1. A.10
2. B.20
3. C.30
4. D.40

解析

5. 方法一：设牧场原有草量为Y，设每天生长草量为X，设一只羊每天吃草量为1，则根据“一头牛每天的吃草量是一只羊的2倍”，可知一头牛每天吃草量为1×2=2。由牛吃草公式：Y=（N-X）×T，20头牛来吃可得：Y=（2×20-X）×20······①，10头牛和10只羊来吃可得：（2×10+1×10-X）×30······②，解得X=10，Y=600。设30只羊吃牧场的草，t天可以吃光，则有600=（30-10）×t，解得t=30，即30只羊吃该牧场的草，30天可以吃光。
6. 方法二：由于一头牛每天吃草的量是一只羊的2倍，则10头牛和10只羊吃草的量=10×2+10=30头羊吃草的量，故30只羊吃该牧场的草，30天可以吃完。
7. 故正确答案为C。

例2：(2014河北) 有一个水池，池底不断有泉水涌出，且每小时涌出的水量相同。现要把水池里的水抽干，若用 5 台抽水机 40 小时可以抽完，若用 10 台抽水机 15 小时可以抽完。现在用 14 台抽水机，多少小时可以把水抽完：

1. A. 10 小时
2. B. 9 小时
3. C. 8 小时
4. D. 7 小时

解析

5. 假，依题意列式如下
   $y=40\times （5-x）$
   $y=15\times （10-x）$
   解得x=2，y=120，现在用 14 台抽水机，每小时减少（14-2）=12 份水，120/12=10 小时。选 A

例3：(2020浙江) 火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票，且之后每分钟增加排队购票的乘客人数相同。从开始办理购票手续到没有乘客排队，若开放3个窗口，需耗时90分钟，若开放5个窗口，则需耗时45分钟。问如果开放6个窗口，需耗时多少分钟？

1. A. 36
2. B. 38
3. C. 40
4. D. 42

解析

5. 。由题意，，解得x = 1，原有人数 =180人。设若开放6个窗口，需耗时分钟，则有：180 = t × (6-1)，解得t = 36，A项当选。

例4：(2013国家)某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭，问最多可供多少人进行连续不间断的开采？（假定该河段河沙沉积的速度相对稳定）

1. A.25
2. B.30
3. C.35
4. D.40

解析

5. 牛吃草问题，设河沙初始量为Y，每月沉积量为x，每人每天的开采量为1，根据题意则有：Y=(80-x)×6=(60-x)×10，解得x=30，即每个月的沉积量可供30人开采；可知当开采人数为30时，才能保证连续不间断地开采。

例5：(2022年四川34%) 某零件生产车间每天产量固定且目前有一定库存，车间用货车将库存零件运往买方仓库。如每天运24车，5天刚好运完；如每天运18车，8天刚好运完。现每天运x车，4天后车间生产效率提高了50%，又用了7天运完存货。问x可能的最小值为：

1. A. 18
2. B. 19
3. C. 20
4. D. 21

解析

5. 设目前。根据每天运24车，5天刚好运完；如每天运18车，8天刚好运完。可得：y=(24-a)×5=(18-a)×8，解得a=8，y=80。根据题干“现每天运x车，4天后车间生产效率提高了50%，又用了7天运完存货”，则有：$80=(x-8)\times 4+[x-8\times (1+50\mathrm{\%})]\times 7$，解得x=17.8，故x可能的最小值为18。故正确答案为A。

例6：(2025辽宁44%) 假定地球每年新生成的资源固定不变且人均资源消耗量恒定，则地球上的资源可供100亿人消耗100年或可供80亿人消耗300年。为保证人类的可持续发展，要使地球上的资源可供人类永久消耗，最多可供人数为：

1. A. 50亿人
2. B. 60亿人
3. C. 65亿人
4. D. 70亿人

解析

5. 设地球原有资源量为Y，每年新增资源量为x，一亿人每年资源消耗量为1。由牛吃草公式：Y=（N-x）×T，可得：Y=（100-x）×100······①，Y=（80-x）×300······②，解得x=70，Y=3000。
6. 根据题干“可供人类永久消耗”分析可得：每年资源消耗量=每年新增资源量，即每年消耗量为70时，可供人数最多，最多为70÷1=70亿人。
7. 故正确答案为D。

例7：(2022江苏37%) 某疫苗接种点市民正在有序排队等候接种。假设之后每小时新增前来接种疫苗的市民人数相同，且每个接种台的效率相同，经测算：若开8个接种台，6小时后不再有人排队；若开12个接种台，3小时后不再有人排队。如果每小时新增的市民人数比假设的多25%，那么为保证2小时后不再有人排队，需开接种台的数量至少为：

1. A. 14个
2. B. 15个
3. C. 16个
4. D. 17个

解析

5. 设原来排队市民总数为Y人，假设每小时新增的市民人数为x人，接种台数量为N个，由牛吃草公式Y=（N-x）×T有：Y=（8-x）×6=（12-X）×3，解得：x=4，Y=24；
6. 根据“每小时新增的市民人数比假设的多25%”可得，现在每小时新增的市民人数为：4×（1+25%）=5。
7. 同样代入牛吃草公式有：24=（N-5）×2，解得：N=17。
8. 故正确答案为D。

例7：(2022江苏37%) 某疫苗接种点市民正在有序排队等候接种。假设之后每小时新增前来接种疫苗的市民人数相同，且每个接种台的效率相同，经测算：若开8个接种台，6小时后不再有人排队；若开12个接种台，3小时后不再有人排队。如果每小时新增的市民人数比假设的多25%，那么为保证2小时后不再有人排队，需开接种台的数量至少为：

1. A. 14个
2. B. 15个
3. C. 16个
4. D. 17个

解析

5. 设原来排队市民总数为Y人，假设每小时新增的市民人数为x人，接种台数量为N个，由牛吃草公式Y=（N-x）×T有：Y=（8-x）×6=（12-X）×3，解得：x=4，Y=24；
6. 根据“每小时新增的市民人数比假设的多25%”可得，现在每小时新增的市民人数为：4×（1+25%）=5。
7. 同样代入牛吃草公式有：24=（N-5）×2，解得：N=17。
8. 故正确答案为D。

例8：(2014河南选调) 药厂使用电动研磨器将一批晒干的中药磨成药粉。厂长决定从上午10点开始，增加若干台手工研磨器进行辅助作业。他估算如果增加2台，可在晚上8点完成，如果增加8台，可在下午6点完成。问如果希望在下午3点完成，需要增加多少台手工研磨器？

1. A. 20
2. B. 24
3. C. 26
4. D. 32

解析

5. “一批晒干的中药”对应初始量，“电动研磨器每小时研磨的中药”对应匀速变化量，“增加2台手工研磨器可在晚上8点完成，增加8台可在下午6点完成，增加多少台可在下午3点完成”，可知本题为牛吃草问题。
6. 由题意可知，增加2台，工作时间为10小时；增加8台，工作时间为8小时；希望下午3点完成，工作时间为5小时。
7. 假定每台手工研磨器每小时研磨的量为1份，电动研磨器每小时研磨的量为x份（在手工研磨器基础新增电动研磨器，可以理解牛在吃草，同时多出一个农夫在除草，因此公式为Y＝（N+x）T，注意减号变加号，其本质就是 原有量=每天的变化量×天数）。由题意可列式子 原有量=（x+2）×10....①；原有量=（x+8）×8...②
8. 增加n台手工研磨器可在下午3点完成，则 原有量=（x+n）×5...③；
9. ①②③式子可解得x=22，n=26。
10. 即如果希望在下午3点完成，需要增加26台手工研磨器。故选择C项。