最值问题

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1. 题干特征：题干或问法中出现“至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“最大”、“最小”等字眼时

题型一：最不利原则

1. 1、题型特征：问法中出现“至少……才能……，保证(一定)……”或类似表述。

2. 2、“保证”与“可能”的区别：“可能”考虑最好的情况。“保证”考虑最不利的情况。

3. 3、什么叫最不利：通俗的讲就是想象最糟糕的情况，与成功一线之差的情况，然后在这个情况上加 1，则为刚好满足条件的情况。

   1. （1）：针对班上的学生进行点名，至少点几个人的姓名，才能点到同一性别的学生？保证就是指一定发生，就是考虑与成功一线之差的情况，即第一个点到男生，第二个点到女生(或第一个点到女生，第二个点到男生)，那么，第三个无论是点到男生还是女生，都能保证有同一性别的学生，所以至少点到3个人的姓名，才能保证点到同一性别的学生。

   2. （2）有利原则：针对班上的学生进行点名，至少点几个人的姓名，点到同一性别的学生？可能就是不保证必然发生，就是考虑最理想的情况，第一个点到男生，第二个也正好点到男生(或第一个点到女生，第二个也正好点到女生)，此时就也达到题目的要求，所以至少点2个人的姓名，就可能点到同一性别的学生。

4. 4、解题的本质：

   1. 袋子中装有5个红球，8个白球，10个黄球。问：
      ①至少取出（ ）个，才能保证有红球？
      ②至少取出（ ）个，才能保证至少有3个同色的球？
      ③至少取出（ ）个，才能保证至少有8个同色的球？

   2. ①要保证有红球，需先取完所有非红球（8个白球 + 10个黄球 = 18个），再取1个必为红球，因此至少取出 18+1=19 个。
      ② 要保证至少有3个同色的球，最坏情况是每种颜色各取2个（共6个），再取1个即可使某颜色达到3个，因此至少取出 6+1=7 个。
      ③ 要保证至少有8个同色的球，红球最多5个无法满足，最坏情况是取完5个红球，且白球和黄球各取7个（共5+7+7=19个），再取1个可使白球或黄球达到8个，因此至少取出 19+1=20 个。

题型二：构造数列类

1. 1、题型特征：指若干个数起来的和是一个固定的常数，问法为“最多/少的……至多/少……”“排名第N的至多/少……”。

   1. （1）问你最多的人最少怎么样？

   2. （2）最少的人最多怎么样？

   3. （3）排名第三的人最多能分几个？

2. 2、解题思路：

   1. （1）：根据主体大小依次排序；

   2. （2）：

   3. （3）：总数一定，全部加和求解答案。

   4. （4）：最后计算出来的结果是非整数时，不能四舍五入，需要结合题干的问法进行判断。如人数、物品数等为整数的，必须满足整数约束：

      1. ①若问，计算后应该；（因为问最少，并且要求是整数，说明实际值是不能小于计算结果[小数]的，只有向上取整才能确保不低于理论下限）
      2. ②若问，计算后应该。（因为问最多，并且要求是整数，说明实际值是不能超过计算结果[小数]的，只有向下取整才能确保不低于理论上限）
      3. 比如：计算结果是7.5，若问最少，则结果应该取8，取7会小于7.5，不满足条件；若问最多，则结果应该取7，取8会超过7.5，不满足条件。

题型三：容斥极值类

最值问题中，有一种特殊的构造，涉及到两个及以上的集合的极值，考频不高。如：某兴趣班共有学生45人，其中喜欢音乐、舞蹈、美术的学生分别为36、34、31人，问这三项都喜欢的学生至少有多少人？

1. 题型特征：多集合题目中，问题中出现，至少...都...的情况下

方法1：多集合反向构造

1. 第一步：。先分别反向求出各集合的补集；例如：不喜欢音乐、舞蹈、美术的学生，分别有9、11、14人；

2. 第二步：。反向的补集进行相加；例如：这9、11、14人毫无重复，则此时“不都喜欢”的最多，有9+11+14=34（人）；

3. 第三步：。例如：“不都喜欢”的最多，那么“都喜欢的”最少，有45－34=11（人）。

4. 这种思路的核心是“让不都喜欢的无任何重复，则不满足要求的最多”

方法2：正向思路

1. 1、

2. 2、

3. 3、四个集合A、B、C、D满足的至少为A+B+C+D-3U（U为全集）

4. 这种思路的核心是“总人次－喜欢人次的极限值，则满足要求的最少”。

随笔练习

例1：（2022河北）有200人参加招聘会，其中法学70人，经济学60人，工业设计50人，统计学20人，至少有（ ）人找到工作才能保证一定有50人的专业相同。

1. A.167
2. B.168
3. C.170
4. D.175

解析

5. 题目问“至少······才能保证······”，为最值问题中的最不利构造题型。最不利的情况为每个专业最多只有49人找到工作，则最不利情况数为49（法学）+49（经济学）+49（工业设计）+20（统计学）=167人，在此基础上再任意多一人找到工作就可以满足有50人的专业相同的要求，即至少要有167+1=168人找到工作。故正确答案为B。
6. 使用抽屉原理：把至少m×n+1个物品放到n个抽屉里，至少有 1 个抽屉里的东西不少于m+1个；

例2：（2024年深圳30%）某早餐店推出“10元2件”套餐，顾客花费10元即可在白粥、豆浆、油条、蛋饼、叉烧包、云吞面6个品类中任选2件，既可以选相同的，也可以选不同的。则至少售出（ ）份该套餐时，一定有2份套餐的搭配完全一致。

1. A.15
2. B.16
3. C.21
4. D.22

解析

5. 根据题干“至少······一定有”，可判定本题为最不利构造问题。根据题意可知该套餐中共有6个品类可供选择，若选出的2件为相同品类，共有$C_6^1$=6种搭配；若选2件为不同品类，共有$C_6^2$=15种搭配。则最不利情况为每种搭配售出1份，共计6+15=21份。则在此基础上再售出1份，一定有2份套餐的搭配完全一致，故至少售出21+1=22份。故正确答案为D。

例3：（2020浙江温州事业单位）任意分成4组，总会至少有一组的男生多于2人，那么男生至少有几人？（ ）

1. A.5
2. B.8
3. C.9
4. D.13

解析

5. 根据最不利原理，“总会至少有一组的男生多于2人”即“总会至少有一组的男生至少有3人”，最不利情况为每组只有2个男生，在此基础上，再增加1个男生，则必然有一组有3个男生，因此男生至少有4×2+1=9人
6. 所以选择 C。

例4：（2024黑龙江）某部门工会为丰富职工文化生活增进职工身心健康，组织开展了拔河、羽毛球、乒乓球、台球四项比赛活动，每名职工参加一项或者两项比赛。若要保证至少有5名职工参加的比赛项目完全相同，则该部门参加比赛的职工至少有：

1. A.40名
2. B.41名
3. C.50名
4. D.51名

解析

5. 由题意可知，共有四项比赛活动，每名职工参加一项或者两项比赛。若每名职工参加一项比赛有$C_4^1$=4种方式；参加两项比赛有$C_4^2$=6种方式，故共有4+6=10种参加比赛的方式。
6. 要保证至少有5名职工参加的比赛项目完全相同，考虑最不利情况：每种组合最多有4名职工。此时最多可有4×10=40名职工，仍不满足条件。当再有第 41 名职工加入时，无论其选择哪种组合，该组合人数将达到5人。
7. 故正确答案为B。

例5：（2013国考）某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同部门，假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名：

1. A.10
2. B.11
3. C.12
4. D.13

解析

5. 招聘了65名毕业生是一定的，题干是行政部门分得最多，问行政部门至少有多少毕业生，采用构造数列方法。
   要使行政部门少，则其他部门应尽量多。假设行政部门分了x人，下面来构造一下，行政部门问最少，另外的6个部门是不是要尽可能的多？
6. 行政部门①————> x人
7. 部门②————> x-1人
8. 部门③————> x-1人
9.   ·
10.   ·
11.   ·
12. 部门⑦————> x-1人
13. 65名毕业生是常数，因此 x+6×（x-1）=65，解得x=10.143，问最少是往上取，往上去取11，答案选B。

例6：（2012河北）要把 21 棵桃树栽到街心公园里 5 处面积不同的草坪上，如果要求每块草坪必须有树且所栽棵数要依据面积大小各不相同，面积最大的草坪最多栽多少棵桃树？ （ ）

1. A.7
2. B.8
3. C.10
4. D.11

解析

5. 存在“和”。“和”为 21。所求为最大量的最大值。设面积最大的草坪栽了 x 棵，其他四个草坪栽种的桃树棵数分别为 1、2、3、4，则 x+4+3+2+1=21 棵，解得 x=11，答案为D

例7：(2015广东) 阅览室有 100 本杂志。小赵借阅过其中 75 本，小王借阅过 70 本，小刘借阅过 60 本，则三人共同借阅过的杂志最少有多少本？（ ）

1. A.5
2. B.10
3. C.15
4. D.20

解析

5. 方法一：本题出现了三个概念，分别是小赵借阅、小刘借阅、小王借阅，概念间存在交叉关系。，三人都借阅的至少有 75+70+60-2×100=5 本，故答案选A
6. 方法二：根据题干“三人共同借阅过的杂志最少”，即都满足的最少，判定本题为多集合反向构造。多集合反向构造的解题方法是“反向-求和-作差”，①反向：三个人没有借阅过的杂志分别是100-75=25本、100-70=30本、100-60=40本；②求和：要让共同借阅的杂志最少，就让没有借阅过的杂志不重复，三者相加一共25+30+40=95本；③作差：所以三人共同借阅的杂志最少为100-95=5本，故正确答案为A。

例8：(2022江苏) 某机构对全运会收视情况进行调查，在1000名受访者中，观看过乒乓球比赛的占87%，观看过跳水比赛的占75%，观看过田径比赛的占69%。这1000名受访者中，乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有：

1. A.310人
2. B.440人
3. C.620人
4. D.690人

解析

5. 根据“都······至少”判定本题为多集合极值问题。乒乓球比赛、跳水比赛、田径比赛看过的分别为1000×87%=870人、1000×75%=750人、1000×69%=690人
6. 方法一：根据正向思路的公式，三人都借阅的至少有 870+750+690-2×1000=310 人，故答案选A
7. 方法二：①反向：乒乓球比赛、跳水比赛、田径比赛没有看过的分别为：1000-870=130人、1000-750=250人、1000-690=310人。②求和：乒乓球比赛、跳水比赛、田径比赛没有看过的最多为130+250+310=690人。③作差：乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有1000-690=310人。故正确答案为A。